Теорема о структуре нормального оператора

Оператор $\mathcal{A}$ на конечномерном унитарном пространстве $V$ нормален $\iff$ существует ортонормированный базис пространства $V$, состоящий из собственных векторов оператора $\mathcal{A}$.

Индукция по $\dim V$. **База индукции:** $\dim V = 1$. Утверждение тривиально. ($\mathcal{A}e_1 = \lambda e_1$ т.к. одномерно) **Шаг индукции:** $\dim V = k+1$. У нормального оператора существует собственный вектор $e_1$ (по основной теореме алгебры у характеристического многочлена есть комплексный корень). Более того, собственные векторы $\mathcal{A}$ являются собственными векторами $\mathcal{A}^*$. Пусть $e_1$ - нормированный собственный вектор $\mathcal{A}$ (и $\mathcal{A}^*$). Рассмотрим подпространство $V' = \langle e_1 \rangle^{\perp}$. Ясно, что $V'$ инвариантно относительно $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^*$ и что $\mathrm{dim}~ V' = \mathrm{dim}~V - 1 = k$ Оператор $\mathcal{A}|_{V'}$ на пространстве $V'$ нормален, поскольку для любых $x, y \in V'$: $$((\mathcal{A}|_{V'}) x, y) = (\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^* y) = (x, (\mathcal{A}^*|_{V'}) y)$$ то есть $(\mathcal{A}|_{V'})^{*} = \mathcal{A}^{*}|_{V'}$. И поскольку для любых $x, y \in V'$: $$(\mathcal{A}|_{V'})(\mathcal{A}^{*}|_{V'})x = (\mathcal{A}\mathcal{A}^{*})x = (\mathcal{A}^{*}\mathcal{A})x = (\mathcal{A}^{*}|_{V'})(\mathcal{A}|_{V'})x$$ По предположению индукции, для ${} \mathcal{A}|_{V'} {}$ в $V'$ существует ортонормированный базис $e_2, \dots, e_k$, состоящий из собственных векторов $\mathcal{A}|_{V'}$. Эти векторы также являются собственными векторами $\mathcal{A}$. Базис $e_1, e_2, \dots, e_k$ является ортонормированным базисом $V$, состоящим из собственных векторов $\mathcal{A}$ $\square$

Пусть $e_1, e_2, \dots, e_n$ - ортонормированный базис из собственных векторов оператора $\mathcal{A}$. Матрица оператора $\mathcal{A}$ в этом базисе является диагональной (т.к. $\mathcal{A}e_k = \lambda e_k$, т.е есть все слагаемые кроме $e_k$ нулевые): $$[A]_e = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$$ Матрица сопряженного оператора $\mathcal{A}^*$ в этом базисе: $$[A^*]_e = ([A]_e)^* = \mathrm{diag}(\overline{\lambda_1}, \overline{\lambda_2}, \dots, \overline{\lambda_n})$$ Обе матрицы $[A]_e$ и $[A^*]_e$ диагональны, следовательно, они коммутируют: $$[A]_e [A^*]_e = [A^*]_e [A]_e$$ Поскольку матрицы операторов в некотором базисе коммутируют, то и сами операторы коммутируют: $\mathcal{A} \mathcal{A}^* = \mathcal{A}^* \mathcal{A}$. Таким образом, оператор $\mathcal{A}$ является нормальным. $\square$

Пусть $V$ - евклидово пространство, ${} \mathcal{A} {}$ - оператор на $V$. Тогда $\mathcal{A}$ - нормальный $\iff$ в некотором ОНБ его матрица имеет блочно-диагональный вид. Каждый блок либо размера 1, либо размера 2 и имеет вид: $$\beta \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$

$\Large\implies$ Так как мы рассматриваем случай разложимости характеристического многочлена на линейные множители, все собственные числа $\mathcal{A}$ - вещественные. Индукция по $k = \dim V$. **База индукции** ($k=1$): Матрица оператора в единственном ОНБ имеет вид $[\lambda]$, что соответствует блоку $1\times1$ (вещественное число). **Шаг индукции** ($k = n$). Аналогично доказательству теоремы в унитарном случае. (получим онб а в нем диагональная матрица из собств значений) $\Large\impliedby$ Пусть $A$ - матрица $\mathcal{A}$ и в некотором ОНБ она имеет блочно-диагональный вид из двух типов блоков: $[\lambda]$ или $R = \beta \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ В евклидовом пространстве справедливо: $[\mathcal{A}^{*}] = A^{*} = A^{T}$. Так как $A$ и $A^{T}$ - блочно-диагональные, произведения этих матриц это матрица, составленная из произведений блоков в соответствующем порядке. Проверим нормальность для каждого блока: - Для блока $1\times1$: $[\lambda][\lambda]^T = \lambda \cdot \lambda = \lambda^2 = [\lambda]^T[\lambda]$. - Для блока $2\times2$: $R R^T = \beta^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = R^T R$ (см. вычисления ниже). Вычисления для $R$: $$R R^T = \beta \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \beta \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \beta^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Аналогично $R^T R = \beta^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Следовательно $\mathcal{A}\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^*\mathcal{A}$. Значит, $\mathcal{A}$ нормален. $\square$